199-A A note on the Circle Limit – III

A note on the Circle Limit – III

ప్రపంచమున ఎందరో మేధావులు అనంతము అనుదాని గురించి పరిశోధనలు చేశారు. కొందరు దానిని గణిత పద్ధతిలో; కొందరు చిత్ర పద్ధతిలో; ఇంకొందరు శ్లోకములు  పద్యముల రూపములో; ఇంకొందరు అంకెల రూపంలోను వర్ణించి తరించిరి. ఐనప్పటికీ మానవుని వూహకు అనంతము చిక్కక చిక్కులు పెడుతూనే వున్నది.

మానవులుగా మనము, ఎంతో నిడివిగల సూర్య మండలమును, పాలపుంతను, గేలాక్సీలను ఒక క్రమ పద్ధతిలో వూహించుకొని మనస్సులో నిక్షిప్తం చేసుకుంటాము. అటులనే ఎంతకు తెగని అనేక సంకేతములను కంఠస్థము చేసుకోగలుగుతాం. కొందరు వేదాలనే కంఠస్థము చేయగలిగారు. కానీ అనంతం గురించి మానవుడు ఇదమిత్థమైన అవగాహనకు రాలేక పోయాడు. ఈ రకముగా మానవుని మేధకు అనంతము ఒక కొరకరాని కొయ్యగా మిగిలిపోయినది.

గొప్ప కళాకారులు ఎం.సి. ఏస్ఛెర్ తరచుగా వంటి వారు పరిమిత ప్రాంతంలో, సరిహద్దులు దాటని,  అనంతంగా పునరావృతమయ్యే నమూనాలను సృష్టించడానికి అనేక విధములుగా ప్రయత్నించారు. అనంతం యొక్క భావనను చిత్ర మాధ్యముద్వారా అన్వేషించారు. వారికి పాయిన్'కెయర్ (Poincaire) వారి హైపర్‌బోలిక్ (అతిపరావలయ) జ్యామితి మోడల్ (నమూనా) ఒక ఆధారముగా మారినది.  పాయిన్'కెయర్ వారి డిస్క్ మోడల్'కు నిర్వచించబడిన స్థలంలో అనంతంగా పునరావృతమయ్యే నమూనాలను (లేదా నకళ్ళను) సూచించే సామర్థ్యం కలిగి ఉంది.

ఈ అతిపరావలయ నమూనాలో, మనము ఎస్చెర్ యొక్క కళాకృతిని (భూమిపై) ఒక కొండపై నిలబడి చూచిన దానితో పోల్చవచ్చును. సుదూర వస్తువులు చిన్నవిగా కనిపిస్తాయి, అయితే దగ్గరగా ఉన్నవి పెద్దవిగా కనిపిస్తాయి. భూగ్రహంపై  స్థానంతో సంబంధం లేకుండా సుస్థిరమైనదీ దృగ్విషయం.

 

ఎస్చెర్ గారి వృత్త​ పరిమితి-IIIలో  (Circle Limit III) నమూనాలలోని ప్రతి చేప అనంతమైన నకళ్ళకు (patterns) లోనవుతుంది, అయితే సమానమైన హైపర్బోలిక్ అక్షాల మధ్య దూరాలు డిస్క్ అంచు వైపు వెళుతున్నకొద్దీ క్రమంగా తత్సమానమైన చిన్న యూక్లిడియన్ దూరాలుగా మారతాయి.  పర్యవసానంగా, అంచులకు దగ్గరగా వుండే చేపలు చిన్నవిగా కనబడినప్పటికీ,  ఈ నమూనాలలోని అన్ని చేపలు ఒకే (హైపర్బోలిక్) పరిమాణంలో ఉంటాయి.

ఎస్చెర్ గారి వృత్త​ పరిమితి-IIIని (4, 3, 3) అను సమితిగా పేరు పెట్టవచ్చు, అనగా కుడి మొప్పల వద్ద  4 చేపలు ఎడమ మొప్పల వద్ద 3 చేపలు సంఖ్య, ముక్కుల వద్ద 3 చేపలు కలుసుకుంటాయన్నమాట​.

ఈ రకంగా చూస్తే, సుమారు 41 సెంటీమీటర్ల వృత్తములో అనంతమగు చేపల నకళ్ళను చూపించుటలో ఎస్చెర్ సఫలీకృతులయ్యారని చెప్పవచ్చును. అనంతమగు చేపల నకళ్ళను ఒక చిన్న వృత్తములో చూపి, అపారమగు  భావమునకు ఒక నిర్దిష్టమైన రూపు కల్పించారు ఎస్చెర్ గారు.

ఇందులో గమనించవలసినది ఏమిటంటే వృత్తంలో ఎక్కడ ఉన్నా అక్కడనుంచి కనబడే దృశ్యం తిరిగి మనకు కనబడుతున్న దృశ్యం వలెనే ఉండును. అనగా ఈ  దృశ్యమాధ్యములో ఎక్కడకు వెళ్ళినా అదే సమాన పరిమాణముతో వున్న చేపలు ఎదురౌతాయి.

అనంతము అనగా మేరలు లేనిది. అందుకే పై బొమ్మలో ఎటు చూచినా ఒకే విధముగా కన్పట్టునట్లు చిత్రకారుడు ప్రయత్నించాడు. కొనలు లేని దాని కొనలు కొసలు  నిర్ణయించలేము. అద్దానిని మనసులో నిలుపుట అసంభవము. కావుననే దైవమును మానవుడు వీక్షించలేడు. కాని కాంక్షిచుతాడు. కానిదానికై ప్రయత్నము చేయుట అవివేకము అని ఎంచడు. 

The Circle Limit III pattern can be named as (4, 3, 3) i.e  4 No of Fish meeting at Right Fins,3 No of Fish meeting at Left Fins, 3 No of Fish meeting at nose tips.

Great artists like M.C. Escher often explored the concept of infinity in their work. The Poincaré Disk Model for Hyperbolic Geometry provided them with a means to depict infinitely repeating patterns within a finite, bounded area while maintaining recognizable shapes, thanks to conformality. 

In this model, we can liken Escher's artwork to standing on a hilltop on Earth. Distant objects appear small, while closer ones seem larger—a consistent phenomenon regardless of location on the planet.

Each fish in Escher's Circle Limit III patterns undergoes an infinite pattern, yet equal hyperbolic distances correspond to progressively smaller Euclidean distances toward the edge of the disk. Consequently, all fish in the patterns are of the same (hyperbolic) size. The appeal of the Poincaré disk model to artists, including Escher, lies in its ability to represent infinitely repeating patterns within a defined space.